التعريف 1

منتج عددي المتجهات هي رقم يساوي حاصل ضرب دين هذه المتجهات بواسطة جيب تمام الزاوية بينهما.

تدوين منتج المتجهات a → و b → له شكل a → ، b →. دعنا نحول إلى الصيغة:

a → ، b → \u003d a → b → cos a → ، b → ^. a → و b → تشير إلى أطوال المتجهات ، a → ، b → ^ تشير إلى الزاوية بين المتجهات المعطاة. إذا كان متجه واحد على الأقل يساوي صفرًا ، أي بقيمة 0 ، فستكون النتيجة صفرًا ، a → ، b → \u003d 0

عند ضرب المتجه في نفسه ، نحصل على مربع طوله:

a → ، b → \u003d a → b → cos a → ، a → ^ \u003d a → 2 cos 0 \u003d a → 2

التعريف 2

يسمى الضرب القياسي للمتجه بحد ذاته بالمربع العددي.

محسوبة بالصيغة:

a → ، b → \u003d a → b → cos a → ، b → ^.

تدوين a →، b → \u003d a → b → cos a →، b → ^ \u003d a → npa → b → \u003d b → npb → a → يوضح أن npb → a → هو الإسقاط العددي لـ a → on b → ، npa → a → هو إسقاط b → على a → ، على التوالي.

دعونا نصيغ تعريف المنتج لمتجهين:

يُطلق على المنتج القياسي لمتجهين a → بواسطة b → ناتج طول المتجه a → بواسطة الإسقاط b → بالاتجاه a → أو منتج الطول b → بالإسقاط a → على التوالي.

حاصل الضرب النقطي في الإحداثيات

يمكن حساب حاصل الضرب النقطي من خلال إحداثيات المتجهات في مستوى معين أو في الفضاء.

يُطلق على الناتج القياسي لمتجهين على مستوى ، في مساحة ثلاثية الأبعاد ، مجموع إحداثيات المتجهات المعطاة a → و b →.

عند حساب الناتج القياسي للمتجهات المعطاة a → \u003d (أ س ، أ ص) ، ب → \u003d (ب س ، ب ص) في النظام الديكارتي ، استخدم:

أ → ، ب → \u003d أ س ب س + أ ص ب ص ،

بالنسبة للفضاء ثلاثي الأبعاد ، ينطبق التعبير:

أ → ، ب → \u003d أ س ب س + أ ص ب ص + أ ع ض ب ع.

في الواقع ، هذا هو التعريف الثالث للمنتج النقطي.

دعنا نثبت ذلك.

إثبات 1

للإثبات ، استخدم a → ، b → \u003d a → b → cos a → ، b → ^ \u003d ax bx + ay بواسطة المتجهات a → \u003d (ax ، ay) ، b → \u003d (bx ، by) on النظام الديكارتي.

يجب تأجيل النواقل

O A → \u003d a → \u003d a x و a y و O B → \u003d b → \u003d b x، b y.

بعد ذلك ، سيكون طول المتجه A B → مساويًا لـ A B → \u003d O B → - O A → \u003d b → - a → \u003d (b x - a x، b y - a y).

اعتبر المثلث O A B.

A B 2 \u003d O A 2 + O B 2 - 2 O A O B cos (∠ A O B) صحيحة بناءً على نظرية جيب التمام.

حسب الحالة ، يمكن ملاحظة أن O A \u003d a → ، O B \u003d b → ، A B \u003d b → - a → ، ∠ A O B \u003d a → ، b → ^ ، لذلك ، نكتب الصيغة لإيجاد الزاوية بين المتجهات بشكل مختلف

b → - a → 2 \u003d a → 2 + b → 2-2 a → b → cos (a →، b → ^).

ثم يتبع من التعريف الأول أن b → - a → 2 \u003d a → 2 + b → 2 - 2 (a →، b →) وبالتالي (a →، b →) \u003d 1 2 (a → 2 + b → 2 - ب → - أ → 2).

بتطبيق صيغة حساب طول المتجهات ، نحصل على:
a → ، b → \u003d 1 2 ((a 2 x + ay 2) 2 + (b 2 x + by 2) 2 - ((bx - ax) 2 + (by - ay) 2) 2) \u003d \u003d 1 2 (a 2 x + a 2 y + b 2 x + b 2 y - (bx - ax) 2 - (by - ay) 2) \u003d \u003d ax bx + ay by

دعونا نثبت المساواة:

(a → ، b →) \u003d a → b → cos (a →، b → ^) \u003d \u003d a x b x + a y b y + a z b z

- على التوالي بالنسبة لناقلات الفضاء ثلاثي الأبعاد.

يوضح المنتج القياسي للمتجهات ذات الإحداثيات أن المربع القياسي للمتجه يساوي مجموع مربعات إحداثياته \u200b\u200bفي الفراغ وعلى المستوى ، على التوالي. أ → \u003d (أ س ، أ ص ، أ ض) ، ب → \u003d (ب س ، ب ص ، ب ض) و (أ → ، أ →) \u003d أ س 2 + أ ص 2.

المنتج النقطي وخصائصه

هناك خصائص المنتج النقطي التي تنطبق على a → ، b → و c →:

1. التبديل (أ → ، ب →) \u003d (ب → ، أ →) ؛
2. التوزيع (أ → + ب → ، ج →) \u003d (أ → ، ج →) + (ب → ، ج →) ، (أ → + ب → ، ج →) \u003d (أ → ، ب →) + (أ → ، ج →) ؛
3. خاصية الجمع (λ a → ، b →) \u003d λ (a → ، b →) ، (a → ، λ b →) \u003d λ (a → ، b →) ، λ هي أي رقم ؛
4. دائمًا ما يكون المربع القياسي أكبر من صفر (a → ، a →) ≥ 0 ، حيث (a → ، a →) \u003d 0 في الحالة عندما تكون a → صفر.

مثال 1

الخصائص قابلة للشرح بسبب تعريف المنتج النقطي على المستوى وخصائص إضافة ومضاعفة الأعداد الحقيقية.

أثبت خاصية التبديل (أ → ، ب →) \u003d (ب → ، أ →). من التعريف ، لدينا (a → ، b →) \u003d a y b y + a y b y and (b → a →) \u003d b x a x + b y a y.

من خلال خاصية التبديل ، فإن المعادلات a x b x \u003d b x a x و a y b y \u003d b y a y هي صحيحة ، لذا فإن a x b x + a y b y \u003d b x a x + b y a y.

ويترتب على ذلك (أ → ، ب →) \u003d (ب → ، أ →). Q.E.D.

التوزيع صالح لأي أرقام:

(a (1) → + a (2) → + .. + a (n) →، b →) \u003d (a (1) →، b →) + (a (2) →، b →) +. ... ... + (أ (ن) → ، ب →)

و (أ → ، ب (1) → + ب (2) → + .. + ب (ن) →) \u003d (أ → ، ب (1) →) + (أ → ، ب (2) →) + ... ... ... + (أ → ، ب → (ن)) ،

ومن ثم لدينا

(a (1) → + a (2) → + .. + a (n) →، b (1) → + b (2) → + ... + b (m) →) \u003d (a ( 1) → ، ب (1) →) + (أ (1) → ، ب (2) →) +. ... ... + (a (1) → ، b (m) →) + + (a (2) → ، b (1) →) + (a (2) → ، b (2) →) +. ... ... + (أ (2) → ، ب (م) →) +. ... ... + + (a (n) →، b (1) →) + (a (n) →، b (2) →) +. ... ... + (أ (ن) → ، ب (م) →)

المنتج النقطي مع الأمثلة والحلول

يتم حل أي مشكلة في مثل هذه الخطة باستخدام الخصائص والصيغ المتعلقة بالمنتج النقطي:

1. (أ → ، ب →) \u003d أ → ب → كوس (أ → ، ب → ^) ؛
2. (a → ، b →) \u003d a → n p a → b → \u003d b → n p b → a → ؛
3. (أ → ، ب →) \u003d أ س ب س + أ ص ب ص أو (أ → ، ب →) \u003d أ س ب س + أ ص ب ص + أ ض ب ع ؛
4. (أ → ، أ →) \u003d أ → 2.

دعنا نفكر في بعض أمثلة الحلول.

مثال 2

الطول a → هو 3 ، والطول b → هو 7. أوجد حاصل الضرب القياسي إذا كانت الزاوية 60 درجة.

القرار

حسب الشرط ، لدينا جميع البيانات ، لذلك نحسب بالصيغة:

(a → ، b →) \u003d a → b → cos (a →، b → ^) \u003d 3 7 cos 60 ° \u003d 3 7 1 2 \u003d 21 2

الجواب: (أ → ، ب →) \u003d 21 2.

مثال 3

المتجهات المعطاة أ → \u003d (1 ، - 1 ، 2-3) ، ب → \u003d (0 ، 2 ، 2 + 3). ما هو المنتج النقطي.

القرار

في هذا المثال ، يتم أخذ صيغة الحساب حسب الإحداثيات في الاعتبار ، نظرًا لأنها محددة في بيان المشكلة:

(a → ، b →) \u003d ax bx + ay by + az bz \u003d \u003d 1 0 + (- 1) 2 + (2 + 3) (2 + 3) \u003d \u003d 0 - 2 + ( 2-9) \u003d - 9

الجواب: (أ → ، ب →) \u003d - 9

مثال 4

أوجد حاصل الضرب القياسي A B → و A C →. النقاط أ (1 ، - 3) ، ب (5 ، 4) ، ج (1 ، 1) معطاة على المستوى الإحداثي.

القرار

بادئ ذي بدء ، يتم حساب إحداثيات المتجهات ، حيث يتم توفير إحداثيات النقاط حسب الشرط:

أ ب → \u003d (5-1 ، 4 - (- 3)) \u003d (4 ، 7) أ ج → \u003d (1-1 ، 1 - (- 3)) \u003d (0 ، 4)

بالتعويض في الصيغة باستخدام الإحداثيات ، نحصل على:

(أ ب ← ، أ ج ←) \u003d 4 0 + 7 4 \u003d 0 + 28 \u003d 28.

الجواب: (أ ب ← ، أ ج ←) \u003d 28.

مثال 5

بالنظر إلى المتجهات a → \u003d 7 m → + 3 n → و b → \u003d 5 m → + 8 n → ، أوجد حاصل ضربهما. m → يساوي 3 و n → يساوي وحدتين ، وهما عموديان.

القرار

(أ → ، ب →) \u003d (7 م → + 3 ن → ، 5 م → + 8 ن →). بتطبيق خاصية التوزيع نحصل على:

(7 م → + 3 ن → ، 5 م → + 8 ن →) \u003d \u003d (7 م → ، 5 م →) + (7 م → ، 8 ن →) + (3 ن → ، 5 م →) + (3 ن → ، 8 ن →)

نخرج المعامل الخاص بعلامة المنتج ونحصل على:

(7 م → ، 5 م →) + (7 م → ، 8 ن →) + (3 ن → ، 5 م →) + (3 ن → ، 8 ن →) \u003d \u003d 7 5 (م → ، م →) + 7 8 (م → ، ن →) + 3 5 (ن → ، م →) + 3 8 (ن → ، ن →) \u003d \u003d 35 (م → ، م →) + 56 (م → ، ن →) + 15 (ن → ، م →) + 24 (ن → ، ن →)

من خلال خاصية التبديل ، نحول:

35 (م → ، م →) + 56 (م → ، ن →) + 15 (ن → ، م →) + 24 (ن → ، ن →) \u003d 35 (م → ، م →) + 56 (م → ، ن →) + 15 (م → ، ن →) + 24 (ن → ، ن →) \u003d 35 (م → ، م →) + 71 (م → ، ن → ) + 24 (ن → ، ن →)

نتيجة لذلك ، نحصل على:

(أ → ، ب →) \u003d 35 (م → ، م →) + 71 (م → ، ن →) + 24 (ن → ، ن →).

لنطبق الآن صيغة حاصل الضرب النقطي بالزاوية المحددة بالشرط:

(أ → ، ب →) \u003d 35 (م → ، م →) + 71 (م → ، ن →) + 24 (ن → ، ن →) \u003d \u003d 35 م → 2 + 71 م → n → cos (m →، n → ^) + 24 n → 2 \u003d \u003d 35 3 2 + 71 3 2 cos π 2 + 24 2 2 \u003d 411.

الجواب: (أ → ، ب →) \u003d 411

إذا كان هناك إسقاط رقمي.

مثال 6

ابحث عن المنتج النقطي a → و b →. يحتوي المتجه a → على إحداثيات a → \u003d (9 ، 3 ، - 3) ، الإسقاط b → بالإحداثيات (- 3 ، - 1 ، 1).

القرار

من خلال الفرضية ، يتم توجيه المتجهات a → والإسقاط b → بشكل معاكس ، لأن a → \u003d - 1 3 · n p a → b → → ، لذا فإن الإسقاط b → يتوافق مع الطول n p a → b → → ، ومع العلامة "-":

n p a → b → → \u003d - n p a → b → → \u003d - (- 3) 2 + (- 1) 2 + 1 2 \u003d - 11 ،

بالتعويض في الصيغة ، نحصل على التعبير:

(أ → ، ب →) \u003d أ → ن ص أ → ب → \u003d 9 2 + 3 2 + (- 3) 2 (- 11) \u003d - 33.

الجواب: (أ → ، ب →) \u003d - 33.

مشاكل مع منتج نقطي معروف ، حيث يكون من الضروري إيجاد طول متجه أو إسقاط رقمي.

مثال 7

ما هي القيمة التي يجب أن تأخذها for لمنتج قياسي معين a → \u003d (1 ، 0 ، λ + 1) و b → \u003d (λ ، 1 ، λ) ستكون مساوية لـ -1.

القرار

توضح الصيغة أنه من الضروري إيجاد مجموع منتجات الإحداثيات:

(أ → ، ب →) \u003d 1 λ + 0 1 + (+ 1) λ \u003d 2 + 2 λ.

نظرًا لأن لدينا (أ → ، ب →) \u003d - 1.

للعثور على λ ، نحسب المعادلة:

λ 2 + 2 λ \u003d - 1 ، ومن ثم λ \u003d - 1.

الجواب: λ \u003d - 1.

المعنى المادي للمنتج النقطي

تنظر الميكانيكا في تطبيق المنتج النقطي.

عند العمل A بقوة ثابتة F → يتحرك الجسم من النقطة M إلى N ، يمكنك إيجاد حاصل ضرب أطوال المتجهات F → و M N → مع جيب التمام للزاوية بينهما ، مما يعني أن العمل يساوي حاصل ضرب متجهات القوة والإزاحة:

أ \u003d (F → ، M N →).

المثال 8

متحرك نقطة مادية 3 أمتار تحت تأثير قوة تساوي 5 نيوتن يتم توجيهها بزاوية 45 درجة بالنسبة للمحور. إعثر على.

القرار

نظرًا لأن العمل هو ناتج متجه القوة والإزاحة ، فهذا يعني أنه بناءً على الحالة F → \u003d 5 ، S → \u003d 3 ، (F → ، S → ^) \u003d 45 ° ، نحصل على A \u003d (F → ، S →) \u003d F → S → cos (F →، S → ^) \u003d 5 3 cos (45 °) \u003d 15 2 2.

الجواب: أ \u003d 15 2 2.

المثال 9

نقطة المادة ، التي تتحرك من M (2 ، - 1 ، - 3) إلى N (5 ، 3 λ - 2 ، 4) تحت القوة F → \u003d (3 ، 1 ، 2) ، تؤدي عملاً يساوي 13 J. احسب طول الحركة.

القرار

للإحداثيات المعطاة للمتجه M N → لدينا M N → \u003d (5-2 ، 3 λ - 2 - (- 1) ، 4 - (- 3)) \u003d (3 ، 3 λ - 1 ، 7).

باستخدام صيغة إيجاد العمل مع المتجهات F → \u003d (3 ، 1 ، 2) و MN → \u003d (3 ، 3، - 1 ، 7) ، نحصل على A \u003d (F ⇒ ، MN →) \u003d 3 3 + 1 (3 λ - 1) + 2 7 \u003d 22 + 3.

من خلال الفرضية ، نجد أن أ \u003d 13 ج ، ما يعني 22 + 3 λ \u003d 13. ومن ثم λ \u003d - 3 ، ومن ثم M N → \u003d (3 ، 3 λ - 1 ، 7) \u003d (3 ، - 10 ، 7).

لإيجاد طول الإزاحة M N → ، طبق الصيغة واستبدل القيم:

م N → \u003d 3 2 + (- 10) 2 + 7 2 \u003d 158.

الجواب: 158.

إذا لاحظت وجود خطأ في النص ، فيرجى تحديده والضغط على Ctrl + Enter

في حالة مشكلة المستوى ، يمكن إيجاد الناتج القياسي للمتجهات أ \u003d (أ س ؛ أ ص) وب \u003d (ب س ؛ ب ص) باستخدام الصيغة التالية:

أ ب \u003d أ س ب س + أ ص ب ص

صيغة حاصل الضرب النقطي للمشكلات المكانية

في حالة المشكلة المكانية ، يمكن إيجاد الناتج القياسي للمتجهات أ \u003d (أ س ؛ أ ص ؛ أ ض) و ب \u003d (ب س ؛ ب ص ؛ ب ض) باستخدام الصيغة التالية:

أ ب \u003d أ س ب س + أ ص ب ص + أ ع ع ب ع

صيغة المنتج النقطي للناقلات ذات الأبعاد n

في حالة الفضاء ذي البعد n ، يمكن إيجاد المنتج القياسي للمتجهات a \u003d (a 1 ؛ a 2 ؛ ... ؛ a n) و b \u003d (b 1 ؛ b 2 ؛ ... ؛ b n) باستخدام الصيغة التالية:

أ ب \u003d أ 1 ب 1 + أ 2 ب 2 + ... + أ ن ب ن

خصائص المنتج النقطي للناقلات

1. دائمًا ما يكون الناتج القياسي للمتجه في حد ذاته أكبر من أو يساوي الصفر:

2. الناتج القياسي للمتجه في حد ذاته يساوي صفرًا فقط إذا كان المتجه مساويًا للمتجه الصفري:

أ أ \u003d 0<=> أ \u003d 0

3. الناتج القياسي للمتجه في حد ذاته يساوي مربع معامله:

4. عملية الضرب العددي اتصالية:

5. إذا كان الناتج القياسي لمتجهين غير صفري يساوي صفرًا ، فإن هذه المتجهات تكون متعامدة:

أ ≠ 0 ، ب 0 ، أ ب \u003d 0<=> أ ┴ ب

6. (αa) ب \u003d α (أ ب)

7. إن عملية الضرب العددي هي عملية توزيعية:

(أ + ب) ج \u003d أ ج + ب ج

أمثلة على مسائل لحساب حاصل الضرب القياسي للمتجهات

أمثلة على حساب حاصل الضرب القياسي للمتجهات لمشاكل المستوى

أوجد حاصل الضرب القياسي للمتجهين a \u003d (1 ؛ 2) و b \u003d (4 ؛ 8).

القرار: أ ب \u003d 1 4 + 2 8 \u003d 4 + 16 \u003d 20.

أوجد حاصل الضرب القياسي للمتجهين أ وب إذا أطوالهما | أ | \u003d 3 ، | ب | \u003d 6 ، والزاوية بين المتجهين 60˚.

القرار: أ ب \u003d | أ | · | ب | cos α \u003d 3 6 cos 60˚ \u003d 9.

أوجد حاصل الضرب القياسي للناقلات ص \u003d أ + 3 ب ، ف \u003d 5 أ - 3 ب إذا أطوالهما | أ | \u003d 3 ، | ب | \u003d 2 ، والزاوية بين المتجهين a و b تساوي 60˚.

القرار:

ص ف \u003d (أ + 3 ب) (5 أ - 3 ب) \u003d 5 أ أ - 3 أ ب + 15 ب أ - 9 ب ب \u003d

5 | أ | 2 + 12 أ ب - 9 | ب | 2 \u003d 5 3 2 + 12 3 2 cos 60˚ - 9 2 2 \u003d 45 +36-36 \u003d 45.

مثال على حساب حاصل الضرب النقطي للمتجهات للمشكلات المكانية

أوجد حاصل الضرب القياسي للمتجهين a \u003d (1 ؛ 2 ؛ -5) و b \u003d (4 ؛ 8 ؛ 1).

القرار: أ ب \u003d 1 4 + 2 8 + (-5) 1 \u003d 4 + 16-5 \u003d 15.

مثال على حساب حاصل الضرب النقطي للمتجهات ذات الأبعاد n

أوجد حاصل الضرب النقطي للمتجهات a \u003d (1 ؛ 2 ؛ -5 ؛ 2) و b \u003d (4 ؛ 8 ؛ 1 ؛ -2).

القرار: أ ب \u003d 1 4 + 2 8 + (-5) 1 + 2 (-2) \u003d 4 + 16-5 -4 \u003d 11.

13. المنتج المتجه للمتجهات والمتجه يسمى المتجه الثالث المعرفة على النحو التالي:

2) عمودي ، عمودي. (1 "")

3) يتم توجيه النواقل بنفس الطريقة مثل أساس المساحة بأكملها (إيجابًا أو سلبًا).

معين:.

المعنى المادي للمنتج المتجه

- لحظة القوة بالنسبة للنقطة O ؛ - نصف القطر هو متجه نقطة تطبيق القوة إذن

علاوة على ذلك ، إذا تم نقله إلى النقطة O ، فيجب توجيه الثلاثي كمتجه أساسي.

الناتج العددي من النواقل (المشار إليها فيما يلي باسم SP). أصدقائي الأعزاء! يتضمن اختبار الرياضيات مجموعة من مسائل حل المتجهات. لقد غطينا بالفعل بعض المهام. يمكنك رؤيتها في فئة "ناقلات". بشكل عام ، نظرية المتجهات بسيطة ، والشيء الرئيسي هو دراستها باستمرار. الحسابات والعمليات باستخدام المتجهات في دورة الرياضيات المدرسية بسيطة ، والصيغ ليست معقدة. ألق نظرة على. في هذه المقالة ، سنحلل مهام متجهات SP (المدرجة في الاختبار). الآن "الانغماس" في النظرية:

ح لإيجاد إحداثيات متجه ، عليك أن تطرح من إحداثيات نهايتهالإحداثيات المقابلة لبدايته

و كذلك:

* يتم تعريف طول المتجه (المعامل) على النحو التالي:

يجب تذكر هذه الصيغ !!!

دعنا نظهر الزاوية بين المتجهات:

من الواضح أنه يمكن أن يختلف من 0 إلى 180 0 (أو بالتقدير الدائري من 0 إلى Pi).

يمكننا استخلاص بعض الاستنتاجات حول علامة المنتج النقطي. أطوال المتجهات موجبة ، وهذا واضح. إذن ، تعتمد علامة حاصل الضرب القياسي على قيمة جيب التمام للزاوية بين المتجهين.

الحالات الممكنة:

1. إذا كانت الزاوية بين المتجهات حادة (من 0 0 إلى 90 0) ، فسيكون لجيب الزاوية قيمة موجبة.

2. إذا كانت الزاوية بين المتجهين منفرجة (من 90 0 إلى 180 0) ، فإن جيب تمام الزاوية سيكون له قيمة سالبة.

* عند درجة الصفر ، أي عندما يكون للمتجهات نفس الاتجاه ، فإن جيب التمام يساوي واحدًا ، وبالتالي ستكون النتيجة موجبة.

عند 180 درجة ، أي عندما يكون للمتجهات اتجاهات متعاكسة ، فإن جيب التمام يساوي ناقص واحد ، وبالتالي ستكون النتيجة سلبية.

الآن اللحظة المهمة!

عند 90 o ، أي عندما تكون المتجهات متعامدة مع بعضها البعض ، فإن جيب التمام يساوي صفرًا ، مما يعني أن SP يساوي صفرًا. تُستخدم هذه الحقيقة (نتيجة طبيعية ، خاتمة) في حل العديد من المشكلات ، حيث نتحدث عن الترتيب المتبادل للمتجهات ، بما في ذلك المشكلات المدرجة في بنك المهام المفتوح في الرياضيات.

دعونا نصيغ العبارة التالية: الناتج القياسي يساوي صفرًا فقط إذا كانت هذه المتجهات تقع على خطوط متعامدة.

إذن ، صيغ متجهات SP:

إذا كنت تعرف إحداثيات المتجهات أو إحداثيات نقاط بدايتها ونهاياتها ، فيمكننا دائمًا إيجاد الزاوية بين المتجهات:

ضع في اعتبارك المهام:

27724 أوجد حاصل الضرب القياسي للمتجهين أ وب.

يمكننا إيجاد الناتج القياسي للمتجهات باستخدام إحدى الصيغتين:

الزاوية بين المتجهات غير معروفة ، لكن يمكننا بسهولة إيجاد إحداثيات المتجهات ثم استخدام الصيغة الأولى. نظرًا لأن أصول كلا المتجهين تتطابق مع الأصل ، فإن إحداثيات هذه المتجهات تساوي إحداثيات نهاياتها ، أي

كيفية العثور على إحداثيات متجه موصوفة في.

نحسب:

الجواب: 40

ابحث عن إحداثيات المتجهات واستخدم الصيغة:

للعثور على إحداثيات المتجه ، من الضروري طرح الإحداثيات المقابلة لبدايته من إحداثيات نهاية المتجه ، مما يعني

احسب المنتج النقطي:

الجواب: 40

أوجد الزاوية بين المتجهين أ وب. أعط إجابتك بالدرجات.

دع إحداثيات المتجهات لها الشكل:

لإيجاد الزاوية بين المتجهات ، نستخدم صيغة حاصل الضرب النقطي المتجه:

جيب التمام للزاوية بين المتجهات:

بالتالي:

إحداثيات هذه المتجهات هي:

دعنا نستبدلها بالصيغة:

الزاوية بين المتجهين 45 درجة.

الجواب: 45

المنتج النقطي للناقلات

نواصل التعامل مع النواقل. في الدرس الأول ناقلات للدمى لقد درسنا مفهوم المتجه ، والإجراءات مع المتجهات ، وإحداثيات المتجه وأبسط المهام مع المتجهات. إذا أتيت إلى هذه الصفحة لأول مرة من محرك بحث ، فإنني أوصي بشدة بقراءة المقالة التمهيدية أعلاه ، لأنه لإتقان المادة ، تحتاج إلى التنقل في المصطلحات والرموز التي أستخدمها ، ولديك معرفة أساسية بالمتجهات وتكون قادرًا على حل المشكلات الأولية. هذا الدرس هو استمرار منطقي للموضوع ، وفيه سأحلل بالتفصيل المهام النموذجية التي يتم فيها استخدام المنتج النقطي للمتجهات. هذا نشاط مهم جدا... حاول ألا تتخطى الأمثلة ، فهي مصحوبة بمكافأة مفيدة - ستساعدك الممارسة على توحيد المواد التي غطتها والحصول على حل للمشاكل الشائعة في الهندسة التحليلية

إضافة المتجهات ، وضرب المتجه برقم…. سيكون من السذاجة الاعتقاد بأن علماء الرياضيات لم يأتوا بأي شيء آخر. بالإضافة إلى الإجراءات التي تم النظر فيها بالفعل ، هناك عدد من العمليات الأخرى ذات النواقل ، وهي: المنتج النقطي للناقلات, ناقلات المنتج من النواقل و منتج مختلط من النواقل... المنتج القياسي للناقلات مألوف لنا من المدرسة ، والمنتجان الآخران مرتبطان تقليديًا بمسار الرياضيات العليا. المواضيع بسيطة ، وخوارزمية حل العديد من المشاكل هي استنسل وواضح. الشيء الوحيد. هناك الكثير من المعلومات ، لذلك من غير المرغوب فيه محاولة إتقان وحل كل شيء مرة واحدة. هذا صحيح بشكل خاص بالنسبة لأباريق الشاي ، صدقوني ، المؤلف لا يريد أن يشعر مثل Chikatilo من الرياضيات على الإطلاق. حسنًا ، وليس من الرياضيات ، بالطبع ، أيضًا \u003d) يمكن للطلاب الأكثر استعدادًا استخدام المواد بشكل انتقائي ، بمعنى ما ، "الحصول على" المعرفة المفقودة ، لأنني سأكون الكونت دراكولا غير ضار \u003d)

أخيرًا ، دعونا نفتح الباب ونرى بحماس ما يحدث عندما يلتقي متجهان مع بعضهما البعض….

تحديد حاصل الضرب النقطي للمتجهات.
خصائص المنتج نقطة. المهام النموذجية

مفهوم المنتج النقطي

أولا الزاوية بين النواقل... أعتقد أن الجميع يفهم بشكل حدسي الزاوية بين المتجهات ، ولكن فقط في حالة وجود مزيد من التفاصيل. ضع في اعتبارك ناقلات حرة غير صفرية وملفات. إذا قمنا بتأجيل هذه النواقل من نقطة تعسفية ، تحصل على صورة تخيلها الكثيرون ذهنياً:

أعترف أنني هنا أوجزت الوضع على مستوى التفاهم فقط. إذا كنت بحاجة إلى تعريف صارم للزاوية بين المتجهات ، فيرجى الرجوع إلى الكتاب المدرسي ، ولكن بالنسبة للمشاكل العملية ، فنحن ، من حيث المبدأ ، لسنا بحاجة إليها. أيضًا ، هنا ومتابعة ، سوف أتجاهل في بعض الأماكن صفرًا من المتجهات نظرًا لأهميتها العملية المنخفضة. لقد قمت بالحجز خصيصًا لزوار الموقع المتقدمين الذين يمكنهم لومني على عدم اكتمال بعض العبارات التالية نظريًا.

يمكن أن تأخذ قيمًا من 0 إلى 180 درجة (من 0 إلى راديان) ضمناً. من الناحية التحليلية ، تمت كتابة هذه الحقيقة في شكل عدم مساواة مزدوجة: أو (بالتقدير الدائري).

في الأدبيات ، غالبًا ما يتم تجاهل رمز الزاوية وكتابته ببساطة.

تعريف: الناتج العددي لمتجهين هو رقم يساوي حاصل ضرب أطوال هذه المتجهات بواسطة جيب تمام الزاوية بينهما:

هذا بالفعل تعريف صارم تمامًا.

نحن نركز على المعلومات الأساسية:

تعيين: يتم الإشارة إلى المنتج النقطي بواسطة أو ببساطة.

نتيجة العملية هي رقم: المتجه مضروب في المتجه ، والنتيجة هي رقم. في الواقع ، إذا كانت أطوال المتجهات أرقامًا ، فإن جيب تمام الزاوية هو رقم ، ثم ناتجها سيكون أيضًا رقمًا.

مجرد بعض الأمثلة على الإحماء:

مثال 1

القرار: نستخدم الصيغة ... في هذه الحالة:

إجابة:

يمكن العثور على قيم جيب التمام في الجدول المثلثي... أوصي بطباعته - ستكون مطلوبة في جميع أقسام البرج تقريبًا وستكون مطلوبة عدة مرات.

من وجهة نظر رياضية بحتة ، يكون المنتج النقطي بلا أبعاد ، أي أن النتيجة ، في هذه الحالة ، هي مجرد رقم وهذا كل شيء. من وجهة نظر مشاكل الفيزياء ، يكون للمنتج النقطي دائمًا معين المعنى المادي، أي بعد النتيجة ، تحتاج إلى الإشارة إلى هذه الوحدة المادية أو تلك. يمكن العثور على مثال أساسي لحساب عمل القوة في أي كتاب مدرسي (الصيغة هي بالضبط حاصل الضرب النقطي). يقاس عمل القوة بالجول ، لذلك سيتم تدوين الإجابة بشكل محدد تمامًا ، على سبيل المثال ،.

مثال 2

ابحث عما إذا كان ، والزاوية بين المتجهات.

هذا مثال على قرار مستقل، الجواب في نهاية الدرس.

الزاوية بين المتجهات وقيمة المنتج النقطي

في المثال 1 ، تبين أن المنتج النقطي إيجابي ، وفي المثال 2 ، تبين أنه سلبي. دعنا نتعرف على ما تعتمد عليه علامة المنتج النقطي. ننظر إلى صيغتنا: ... أطوال المتجهات غير الصفرية تكون دائمًا موجبة: لذلك يمكن أن تعتمد الإشارة فقط على قيمة جيب التمام.

ملحوظة: لفهم المعلومات الواردة أدناه بشكل أفضل ، من الأفضل دراسة الرسم البياني لجيب التمام في الدليل الرسوم البيانية وخصائص الوظيفة... انظر كيف يتصرف جيب التمام على قطعة.

كما لوحظ بالفعل ، يمكن أن تختلف الزاوية بين المتجهات في الداخل ، والحالات التالية ممكنة:

1) إذا زاوية بين النواقل حاد: (من 0 إلى 90 درجة) ، إذن و سيكون المنتج النقطي إيجابيًا شارك في الإخراج، فإن الزاوية بينهما تعتبر صفرًا ، وسيكون حاصل الضرب النقطي موجبًا أيضًا. منذ ذلك الحين ، تم تبسيط الصيغة:.

2) إذا زاوية بين النواقل غبي: (من 90 إلى 180 درجة) ، إذن ، وبالتالي ، حاصل الضرب النقطي سلبي:. حالة خاصة: إذا كانت النواقل الاتجاه المعاكسثم تعتبر الزاوية بينهما نشر: (180 درجة). حاصل الضرب النقطي هو أيضًا سلبي منذ

العبارات المعاكسة صحيحة أيضًا:

1) إذا كانت الزاوية بين هذه المتجهات حادة. بدلاً من ذلك ، تكون النواقل ذات اتجاه مشفر.

2) إذا كانت الزاوية بين المتجهات المعطاة منفرجة. بدلا من ذلك ، المتجهات معاكسة.

لكن الحالة الثالثة ذات أهمية خاصة:

3) إذا زاوية بين النواقل مستقيم: (90 درجة) اذن حاصل الضرب القياسي هو صفر:. والعكس صحيح أيضًا: إذا ، إذن. تمت صياغة البيان بشكل مضغوط على النحو التالي: يكون الناتج القياسي لمتجهين صفرًا إذا وفقط إذا كانت هذه المتجهات متعامدة... تدوين رياضي قصير:

! ملحوظة : كرر أسس المنطق الرياضي: عادةً ما تتم قراءة رمز النتيجة المنطقية على الوجهين "حينئذٍ وبعد ذلك فقط" ، "إذا وفقط إذا". كما ترى ، يتم توجيه الأسهم في كلا الاتجاهين - "من هذا يتبع هذا ، والعكس صحيح - مما يلي من هذا". بالمناسبة ، ما هو الفرق من رمز المتابعة أحادية الاتجاه؟ يدعي الرمز هذا فقطأنه "يتبع من هذا" ، وليس حقيقة أن العكس هو الصحيح. على سبيل المثال: ولكن ليس كل حيوان هو النمر ، لذلك في هذه الحالة لا يمكن استخدام الرمز. في نفس الوقت ، بدلا من الأيقونة يستطيع استخدام رمز أحادي الاتجاه. على سبيل المثال ، أثناء حل المشكلة ، اكتشفنا أننا استنتجنا أن المتجهات متعامدة: - سيكون هذا الإدخال صحيحًا ، بل وسيكون أكثر ملاءمة من .

الحالة الثالثة ذات أهمية عملية كبيرة.لأنه يسمح لك بالتحقق مما إذا كانت النواقل متعامدة أم لا. هذه المهمة سنحل في القسم الثاني من البرنامج التعليمي.

خصائص المنتج نقطة

دعنا نعود إلى الحالة عندما نواقل اثنين شارك في الإخراج... في هذه الحالة ، تكون الزاوية بينهما صفرًا ، وتتخذ صيغة حاصل الضرب النقطي الشكل :.

ماذا يحدث إذا تم ضرب المتجه بنفسه؟ من الواضح أن المتجه هو اتجاهي مع نفسه ، لذلك نستخدم الصيغة المبسطة أعلاه:

الرقم يسمى مربع عددي متجه ، ويشار إليه باسم.

وهكذا ، المربع القياسي للمتجه يساوي مربع طول المتجه المحدد:

من هذه المساواة ، يمكنك الحصول على صيغة لحساب طول المتجه:

بينما يبدو الأمر غامضًا ، إلا أن مهام الدرس ستضع كل شيء في مكانه. لحل المشاكل ، نحتاج أيضًا خصائص المنتج نقطة.

بالنسبة إلى المتجهات التعسفية وأي رقم ، تكون الخصائص التالية صالحة:

1) - للإزاحة أو تبادلي قانون المنتجات العددية.

2) - التوزيع أو توزيعي قانون المنتجات العددية. ببساطة ، يمكنك فك الأقواس.

3) - تركيبة أو ترابطي قانون المنتجات العددية. يمكن إخراج الثابت من حاصل الضرب النقطي.

في كثير من الأحيان ، ينظر الطلاب إلى جميع أنواع الخصائص (التي تحتاج أيضًا إلى إثبات!) على أنها نفايات غير ضرورية ، والتي تحتاج فقط إلى الحفظ والنسيان بأمان بعد الاختبار مباشرة. يبدو أن المهم هنا أن الجميع يعلم من الصف الأول أن المنتج لا يتغير من تقليب العوامل:. يجب أن أحذرك ، في الرياضيات العليا مع هذا النهج ، من السهل كسر الخشب. لذلك ، على سبيل المثال ، خاصية الإزاحة غير صالحة لـ المصفوفات الجبرية... كما أنها خاطئة ل ناقلات المنتج من النواقل... لذلك ، من الأفضل على الأقل الخوض في أي خصائص تصادفها في سياق الرياضيات العليا لفهم ما يمكن وما لا يمكن فعله.

مثال 3

.

القرار:أولاً ، دعنا نوضح الموقف بالمتجه. ما هذا على أي حال؟ مجموع المتجهات وهو متجه محدد جيدًا ، يتم الإشارة إليه بواسطة. يمكن العثور على التفسير الهندسي للإجراءات ذات النواقل في المقالة ناقلات للدمى... نفس البقدونس مع المتجه هو مجموع المتجهات و.

لذلك ، شرط أن يتم العثور على المنتج النقطي. من الناحية النظرية ، تحتاج إلى تطبيق صيغة العمل ، لكن المشكلة هي أننا لا نعرف أطوال المتجهات والزاوية بينهما. لكن الشرط يعطي متغيرات متشابهة للناقلات ، لذلك سنذهب في الاتجاه الآخر:

(1) استبدل التعبيرات المتجهة.

(2) نقوم بتوسيع الأقواس وفقًا لقاعدة مضاعفة كثيرات الحدود ، ويمكن العثور على عبارة لسان مبتذلة في المقالة ارقام مركبة أو تكامل دالة كسرية كسرية... لن أكرر نفسي \u003d) بالمناسبة ، تسمح لنا خاصية التوزيع لمنتج النقطة بتوسيع الأقواس. لدينا الحق.

(3) في المصطلحين الأول والأخير ، نكتب بشكل مضغوط المربعات العددية للمتجهات: ... في المصطلح الثاني ، نستخدم تبادلية المنتج القياسي :.

(4) نعطي مصطلحات مماثلة:.

(5) في المصطلح الأول ، نستخدم صيغة المربع العددي ، والتي تم ذكرها منذ وقت ليس ببعيد. في الفصل الأخير ، على التوالي ، يعمل نفس الشيء :. نقوم بتوسيع الحد الثاني وفقًا للصيغة القياسية .

(6) نستبدل هذه الشروط ، وقم بإجراء الحسابات النهائية بعناية.

إجابة:

توضح القيمة السالبة للمنتج النقطي حقيقة أن الزاوية بين المتجهين منفرجة.

المهمة نموذجية ، إليك مثال على حل مستقل:

مثال 4

ابحث عن الناتج القياسي للمتجهات وإذا كان معروفًا ذلك .

الآن مهمة أخرى شائعة ، فقط للصيغة الجديدة لطول المتجه. ستتداخل التعيينات هنا قليلاً ، لذا للتوضيح ، سأعيد كتابتها بحرف مختلف:

مثال 5

أوجد طول المتجه إذا .

القرار سيكون على النحو التالي:

(1) توفير تعبير متجه.

(2) نستخدم صيغة الطول: ، بينما يعمل التعبير كله كمتجه "ve".

(3) نستخدم صيغة المدرسة لمربع المجموع. لاحظ كيف تعمل بشكل غريب هنا: - في الواقع ، إنها مربع الاختلاف ، وهي في الحقيقة كذلك. يمكن للمهتمين إعادة ترتيب المتجهات في الأماكن: - اتضح الأمر نفسه حتى إعادة ترتيب الشروط.

(4) الباقي مألوف بالفعل من المشكلتين السابقتين.

إجابة:

بما أننا نتحدث عن الطول ، لا تنس الإشارة إلى البعد - "الوحدات".

مثال 6

أوجد طول المتجه إذا .

هذا مثال على حل افعل ذلك بنفسك. الحل الكامل والإجابة في نهاية البرنامج التعليمي.

نستمر في إخراج الأشياء المفيدة من المنتج النقطي. لنلق نظرة على الصيغة مرة أخرى ... وفقًا لقاعدة التناسب ، دعنا نعيد ضبط أطوال المتجهات إلى مقام الجانب الأيسر:

وسنقوم بتبديل الأجزاء:

ما معنى هذه الصيغة؟ إذا كنت تعرف أطوال متجهين وحاصل ضربهما النقطي ، فيمكنك حساب جيب التمام للزاوية بين هذين المتجهين ، وبالتالي الزاوية نفسها.

هل المنتج النقطي رقم؟ رقم. هل أطوال المتجهات أرقام؟ أعداد. ومن ثم ، فإن الكسر هو أيضًا رقم معين. وإذا عرف جيب تمام الزاوية: ، ثم استخدام وظيفة عكسية من السهل إيجاد الزاوية نفسها: .

مثال 7

أوجد الزاوية بين المتجهات وإذا عرفت ذلك.

القرار: نستخدم الصيغة:

في المرحلة الأخيرة من العمليات الحسابية ، تم استخدام تقنية - القضاء على اللاعقلانية في المقام. للتخلص من اللاعقلانية ، قمت بضرب البسط والمقام في.

حتى إذا ، ثم:

يمكن العثور على قيم الدوال المثلثية العكسية بواسطة الجدول المثلثي... على الرغم من أن هذا نادرًا ما يحدث. في مشاكل الهندسة التحليلية ، يظهر نوع من الدب الخرقاء في كثير من الأحيان ، ويجب إيجاد قيمة الزاوية تقريبًا باستخدام الآلة الحاسبة. في الواقع ، سنرى مثل هذه الصورة أكثر من مرة.

إجابة:

مرة أخرى ، لا تنس الإشارة إلى البعد - راديان ودرجات. شخصيًا ، من أجل "مسح جميع الأسئلة" عن قصد ، أفضل الإشارة إلى كل من ذلك وذاك (إذا ، بالطبع ، بالشرط ، ليس مطلوبًا تقديم الإجابة بالراديان فقط أو بالدرجات فقط).

الآن ستتمكن من التعامل مع مهمة أكثر صعوبة بمفردك:

المثال 7 *

معطى أطوال المتجهات ، والزاوية بينهما. أوجد الزاوية بين المتجهات.

المهمة ليست صعبة بقدر ما هي متعددة الخطوات.
دعنا نحلل خوارزمية الحل:

1) وفقًا للشرط ، يلزم إيجاد الزاوية بين المتجهات ، وبالتالي ، تحتاج إلى استخدام الصيغة .

2) ابحث عن حاصل الضرب النقطي (انظر الأمثلة رقم 3 ، 4).

3) أوجد طول المتجه وطول المتجه (انظر الأمثلة رقم 5 ، 6).

4) تطابق نهاية الحل مع المثال رقم 7 - نعرف الرقم ، مما يعني أنه من السهل إيجاد الزاوية نفسها:

حل قصير وإجابة في نهاية البرنامج التعليمي.

يركز القسم الثاني من الدرس على نفس المنتج النقطي. إحداثيات. سيكون أسهل مما كان عليه في الجزء الأول.

المنتج النقطي للناقلات ،
أعطيت بواسطة الإحداثيات على أساس متعامد

إجابة:

وغني عن القول ، أن التعامل مع الإحداثيات أكثر متعة.

المثال 14

أوجد حاصل الضرب القياسي للمتجهات وإذا

هذا مثال على حل افعل ذلك بنفسك. هنا يمكنك استخدام ترابط العملية ، أي لا تحسب ، ولكن تحرك على الفور الثلاثي خارج المنتج العددي وضربه في النهاية. الحل والجواب في نهاية الدرس.

في نهاية الفقرة مثال استفزازي لحساب طول المتجه:

المثال 15

أوجد أطوال المتجهات ، اذا كان

القرار:مرة أخرى ، الطريق يطرح القسم السابق: ولكن هناك طريقة أخرى:

ابحث عن المتجه:

وطوله حسب الصيغة التافهة :

المنتج النقطي غير وارد هنا!

كخروج من العمل ، يكون ذلك عند حساب طول المتجه:
قف. لماذا لا تستخدم الخاصية الواضحة لطول المتجه؟ ماذا عن طول المتجه؟ هذا المتجه أطول بخمس مرات من المتجه. الاتجاه معاكس لكن لا يهم لأن الحديث يدور حول الطول. من الواضح أن طول المتجه يساوي المنتج وحدة عدد لكل متجه طول:
- علامة الوحدة "تأكل" العدد المحتمل ناقصًا.

هكذا:

إجابة:

صيغة جيب التمام للزاوية بين المتجهات ، والتي تُعطى بالإحداثيات

الآن لدينا معلومات كاملة بحيث تكون الصيغة المشتقة مسبقًا لجيب التمام للزاوية بين المتجهات التعبير عن طريق إحداثيات المتجهات:

جيب التمام للزاوية بين نواقل المستوى وتعطى على أساس متعامد ، معبر عنها بالصيغة:
.

جيب تمام الزاوية بين متجهات الفراغ تعطى على أساس متعامد ، معبر عنها بالصيغة:

المثال 16

أعطيت ثلاثة رؤوس للمثلث. أوجد (زاوية الرأس).

القرار:وفقًا للشرط ، لا يلزم إجراء الرسم ، ولكن لا يزال:

الزاوية المطلوبة محددة بقوس أخضر. نتذكر على الفور تسمية المدرسة للزاوية: - اهتمام خاص بـ معدل الحرف - هذا هو رأس الزاوية التي نحتاجها. للإيجاز ، يمكن أيضًا كتابته ببساطة.

من الواضح تمامًا من الرسم أن زاوية المثلث تتطابق مع الزاوية بين المتجهات وبعبارة أخرى: .

من المستحسن معرفة كيفية إجراء التحليل عقليًا.

البحث عن ناقلات:

دعونا نحسب حاصل الضرب القياسي:

وأطوال المتجهات:

جيب التمام لزاوية:

هذا هو ترتيب المهمة التي أوصي بها لأباريق الشاي. يمكن للقراء الأكثر تقدمًا كتابة الحسابات "في سطر واحد":

فيما يلي مثال على قيمة جيب التمام "السيئة". القيمة الناتجة ليست نهائية ، لذلك لا فائدة من التخلص من اللاعقلانية في المقام.

ابحث عن الزاوية نفسها:

إذا نظرت إلى الرسم ، فإن النتيجة معقولة تمامًا. للتحقق ، يمكن أيضًا قياس الزاوية بمنقلة. لا تتلف غطاء الشاشة \u003d)

إجابة:

في الجواب لا تنسوا ذلك سئل عن زاوية المثلث (وليس حول الزاوية بين المتجهات) ، لا تنس الإشارة إلى الإجابة الدقيقة: والقيمة التقريبية للزاوية: وجدت مع الآلة الحاسبة.

يمكن لأولئك الذين استمتعوا بالعملية حساب الزوايا والتحقق من صحة المساواة القانونية

المثال 17

يُعرّف المثلث في الفضاء بإحداثيات رءوسه. أوجد الزاوية بين الجانبين و

هذا مثال على حل افعل ذلك بنفسك. الحل الكامل والإجابة في نهاية البرنامج التعليمي

سيتم تخصيص قسم أخير قصير للإسقاطات ، حيث يتم أيضًا "خلط" المنتج القياسي:

الإسقاط المتجه إلى المتجه. إسقاط المتجه على محاور الإحداثيات.
جيب التمام اتجاه المتجه

ضع في اعتبارك النواقل و:

دعونا نسقط المتجه على المتجه ، لذلك نحذف من بداية ونهاية المتجه عمودي لكل متجه (خطوط منقطة خضراء). تخيل أن أشعة الضوء تسقط بشكل عمودي على المتجه. ثم المقطع (الخط الأحمر) سيكون "ظل" المتجه. في هذه الحالة ، يكون إسقاط المتجه على المتجه هو طول المقطع. وهذا يعني أن الإسقاط رقم.

يتم الإشارة إلى هذا الرقم على النحو التالي: ، "المتجه الكبير" يعني متجه التي مشروع ، "ناقل منخفض منخفض" يشير إلى متجه على ال الذي يتم توقعه.

السجل نفسه يقرأ مثل هذا: "إسقاط المتجه" a "على المتجه" bh "".

ماذا يحدث إذا كان المتجه "bs" "قصير جدًا"؟ نرسم خطًا مستقيمًا يحتوي على المتجه "be". وسيتم إسقاط المتجه "أ" بالفعل في اتجاه المتجه "bs"، ببساطة - على الخط المستقيم الذي يحتوي على المتجه "be". سيحدث نفس الشيء إذا تم تأجيل المتجه "a" في المملكة الثلاثين - سيظل من السهل إسقاطه على الخط المستقيم الذي يحتوي على المتجه "bh".

إذا كانت الزاوية بين النواقل حاد (كما في الصورة) إذن

إذا نواقل متعامد، إذن (الإسقاط هو نقطة يُفترض أن تكون أبعادها صفرًا).

إذا كانت الزاوية بين النواقل غبي(في الشكل ، أعد ترتيب سهم المتجه عقليًا) ، ثم (بنفس الطول ، ولكن مع علامة ناقص).

دعنا نؤجل هذه المتجهات من نقطة واحدة:

من الواضح ، عندما يتحرك المتجه ، فإن إسقاطه لا يتغير

وبالتالي ، يُحسب طول المتجه على أنه الجذر التربيعي لمجموع مربعات إحداثياته
... يتم حساب طول المتجه n بالمثل
... إذا تذكرنا أن كل إحداثي للمتجه هو الفرق بين إحداثيات النهاية والبداية ، فإننا نحصل على صيغة طول المقطع ، أي المسافة الإقليدية بين النقاط.

منتج عدديمتجهان على المستوى هو حاصل ضرب أطوال هذه المتجهات بواسطة جيب تمام الزاوية بينهما:
... يمكن إثبات أن الناتج القياسي لمتجهين \u003d (x 1، x 2) و \u003d (y 1، y 2) يساوي مجموع حاصل ضرب الإحداثيات المقابلة لهذه المتجهات:
\u003d x 1 * y 1 + x 2 * y 2.

في الفضاء ذي البعد n ، يُعرَّف الناتج القياسي للمتجهات X \u003d (x 1، x 2، ...، x n) و Y \u003d (y 1، y 2، ...، yn) على أنه مجموع حاصل ضرب إحداثيات كل منهما: X * Y \u003d x 1 * y 1 + x 2 * y 2 + ... + x n * yn.

تشبه عملية ضرب المتجهات ببعضها البعض ضرب مصفوفة الصف في مصفوفة العمود. نؤكد أن النتيجة ستكون رقمًا وليس متجهًا.

المنتج العددي للناقلات له الخصائص التالية (البديهيات):

1) الخاصية التبادلية: X * Y \u003d Y * X.

2) خاصية التوزيع فيما يتعلق بالإضافة: X (Y + Z) \u003d X * Y + X * Z.

3) لأي رقم حقيقي 
.

4)
إذا لم يكن X متجهًا صفريًا ؛
إذا كان X متجهًا صفريًا.

يُطلق على الفضاء المتجه الخطي الذي يُعطى فيه المنتج القياسي للمتجهات ، والذي يلبي البديهيات الأربعة المقابلة المتجه الخطي الإقليديالفراغ.

من السهل ملاحظة أننا عندما نضرب أي متجه في نفسه ، نحصل على مربع طوله. بشكل مختلف الطوليمكن تعريف المتجه على أنه الجذر التربيعي لمربعه القياسي:.

طول المتجه له الخصائص التالية:

1) | X | \u003d 0X \u003d 0 ؛

2) | X | \u003d |  | * | X | ، أين الرقم الحقيقي ؛

3) | X * Y |  | X | * | Y | ( عدم المساواة Cauchy-Bunyakovsky);

4) | س + ص |  | س | + | ص | ( عدم المساواة المثلث).

يتم تحديد الزاوية  بين المتجهات في الفضاء ذي البعد n بناءً على مفهوم المنتج القياسي. في الواقع ، إذا
ثم
... هذا الكسر ليس أكثر من واحد (وفقًا لتفاوت Cauchy-Bunyakovsky) ، لذلك يمكن العثور على юда من هنا.

يتم استدعاء المتجهين متعامدأو عموديإذا كان حاصل الضرب النقطي يساوي صفرًا. ويترتب على تعريف المنتج النقطي أن المتجه الصفري متعامد مع أي متجه. إذا كان كلا المتجهين المتعامدين غير صفري ، إذن cos \u003d 0 ، أي \u003d  / 2 \u003d 90 о.

النظر في الشكل 7.4 مرة أخرى. يمكن أن نرى من الشكل أن جيب التمام للزاوية  لمنحدر المتجه إلى المحور الأفقي يمكن حسابه
، وجيب زاوية منحدر المتجه إلى المحور الرأسي كما
... عادة ما تسمى هذه الأرقام جيب التمام الاتجاه... من السهل التحقق من أن مجموع مربعات جيب التمام في الاتجاه يساوي دائمًا واحدًا: cos 2  + cos 2  \u003d 1. وبالمثل ، يمكننا تقديم مفهوم جيب التمام للاتجاه للمساحات ذات الأبعاد الأعلى.

أساس مساحة النواقل

بالنسبة للناقلات ، يمكن للمرء تحديد المفاهيم تركيبة خطية,علاقة خطيةو استقلالبشكل مشابه لكيفية تقديم هذه المفاهيم لصفوف المصفوفة. من الصحيح أيضًا أنه إذا كانت النواقل تعتمد خطيًا ، فيمكن التعبير عن واحد منها على الأقل خطيًا من حيث الآخرين (أي أنها تركيبة خطية). والعكس صحيح أيضًا: إذا كان أحد المتجهات عبارة عن مجموعة خطية من المتجهات الأخرى ، فإن كل هذه المتجهات في المجموع تعتمد خطيًا.

لاحظ أنه إذا كان هناك متجه صفري من بين المتجهات a l ، a 2 ، ... a m ، فإن هذه المجموعة من المتجهات تعتمد بالضرورة خطيًا. في الواقع ، نحصل على l a l +  2 a 2 + ... + m a m \u003d 0 ، على سبيل المثال ، إذا قمنا بمساواة المعامل j عند متجه صفر بواحد ، وجميع المعاملات الأخرى تساوي صفرًا. علاوة على ذلك ، لن تكون كل المعاملات مساوية للصفر ( j ≠ 0).

بالإضافة إلى ذلك ، إذا كان جزء من المتجهات من مجموعة من المتجهات تعتمد خطيًا ، فإن كل هذه المتجهات تعتمد خطيًا. في الواقع ، إذا أعطت بعض المتجهات متجهًا صفريًا في توليفة خطية مع معاملات لا تساوي صفرًا في نفس الوقت ، فيمكن عندئذٍ إضافة المتجهات المتبقية مضروبة في معاملات صفرية إلى مجموع المنتجات هذا ، وسيظل متجهًا صفريًا.

كيف يمكنني معرفة ما إذا كانت النواقل تعتمد خطيًا؟

على سبيل المثال ، خذ ثلاثة متجهات: أ 1 \u003d (1 ، 0 ، 1 ، 5) ، 2 \u003d (2 ، 1 ، 3 ، -2) و 3 \u003d (3 ، 1 ، 4 ، 3). دعنا نؤلف مصفوفة منهم ، والتي ستكون أعمدة:

ثم سيتم تقليل مسألة الاعتماد الخطي لتحديد رتبة هذه المصفوفة. إذا اتضح أنها تساوي ثلاثة ، فإن الأعمدة الثلاثة تكون مستقلة خطيًا ، وإذا اتضح أنها أقل ، فإن هذا سيتحدث عن اعتماد خطي للمتجهات.

نظرًا لأن المرتبة 2 ، فإن المتجهات تعتمد خطيًا.

لاحظ أن حل المشكلة يمكن أن يبدأ بالمنطق ، والذي يقوم على تعريف الاستقلال الخطي. أي اكتب معادلة المتجه  lal + 2 a 2 +  3 a 3 \u003d 0 ، والتي ستأخذ الشكل l * (1 ، 0 ، 1 ، 5) +  2 * (2 ، 1 ، 3 ، -2) +  3 * (3 ، 1 ، 4 ، 3) \u003d (0 ، 0 ، 0 ، 0). ثم نحصل على نظام المعادلات:

سيتم تقليل حل هذا النظام بطريقة Gauss إلى الحصول على نفس المصفوفة المتدرجة ، فقط سيكون لها عمود آخر - شروط خالية. ستكون جميعها مساوية للصفر ، لأن التحويل الخطي للأصفار لا يمكن أن ينتج عنه نتيجة مختلفة. سيأخذ نظام المعادلات المحول الشكل:

سيكون حل هذا النظام هو (-c ؛ -c ؛ c) ، حيث c هو رقم تعسفي ؛ على سبيل المثال ، (-1 ؛ -1 ؛ 1). هذا يعني أنه إذا أخذنا  l \u003d -1 ؛  2 \u003d -1 و 3 \u003d 1 ، إذن l a l + 2 a 2 +  3 a 3 \u003d 0 ، أي النواقل تعتمد خطيا في الواقع.

من المثال الذي تم حله ، يتضح أنه إذا أخذنا عدد المتجهات أكثر من بُعد الفضاء ، فستكون بالضرورة مرتبطة خطيًا. في الواقع ، إذا أخذنا خمسة متجهات في هذا المثال ، فسنحصل على مصفوفة 4 × 5 ، لا يمكن أن تكون رتبتها أكثر من أربعة. أولئك. لا يزال الحد الأقصى لعدد الأعمدة المستقلة خطيًا لا يزيد عن أربعة. يمكن أن يكون متجهان أو ثلاثة أو أربعة أبعاد مستقلة خطيًا ، لكن خمسة أو أكثر لا يمكن أن تكون مستقلة. وبالتالي ، لا يمكن أن يكون أكثر من متجهين مستقلين خطيًا على المستوى. أي ثلاثة ناقلات في الفضاء ثنائي الأبعاد تعتمد خطيًا. في الفضاء ثلاثي الأبعاد ، تكون أي أربعة نواقل (أو أكثر) دائمًا مرتبطة خطيًا. إلخ.

وبالتالي البعديمكن تعريف الفضاء على أنه الحد الأقصى لعدد المتجهات المستقلة خطيًا التي يمكن أن تكون فيها.

يتم استدعاء مجموعة ن ناقلات مستقلة خطيًا لمساحة ذات أبعاد n أساسهذه المساحة.

نظرية. يمكن تمثيل كل متجه للفضاء الخطي كمجموعة خطية من متجهات الأساس ، علاوة على ذلك بطريقة فريدة.

دليل. دع المتجهات e l ، e 2 ، ... e n تشكل أساسًا للفضاء ذي البعد n R. دعنا نثبت أن أي متجه X هو مزيج خطي من هذه المتجهات. نظرًا لأن عدد المتجهات مع المتجه X سيصبح (n + 1) ، فإن هذه المتجهات (n + 1) ستكون مرتبطة خطيًا ، أي توجد أرقام l ،  2 ، ... ،  n ،  ، وهي ليست صفرًا في نفس الوقت ، هكذا

 l e l +  2 e 2 + ... + n e n + X \u003d 0

علاوة على ذلك ، 0 ، منذ ذلك الحين وإلا فسنحصل على l e l +  2 e 2 + ... + n e n \u003d 0 ، حيث ليست كل المعاملات l ،  2 ، ... ،  n تساوي صفرًا. هذا يعني أن نواقل الأساس ستكون معتمدة خطيًا. لذلك ، يمكننا تقسيم طرفي المعادلة الأولى إلى:

( l / ) e l + (2 / ) e 2 + ... + ( n / ) e n + X \u003d 0

X \u003d - ( l / ) e l - (2 / ) e 2 -...- ( n / ) e n

X \u003d x l e l + x 2 e 2 + ... + x n e n ،

أين х ي \u003d - ( ي / ) ،
.

الآن دعونا نثبت أن مثل هذا التمثيل في شكل مجموعة خطية فريد من نوعه. افترض العكس ، أي أن هناك رأي آخر:

X \u003d y l e l + y 2 e 2 + ... + y n e n

دعونا نطرح منه التعبير الذي حصلنا عليه سابقًا بمصطلح:

0 \u003d (y l - x 1) e l + (y 2 - x 2) e 2 + ... + (y n - x n) e n

نظرًا لأن نواقل الأساس مستقلة خطيًا ، فإننا نحصل على (y j - x j) \u003d 0 ،
، أي y j \u003d x j. لذلك تبين أن التعبير هو نفسه. تم إثبات النظرية.

التعبير X \u003d x l e l + x 2 e 2 + ... + x n e n يسمى تقسيمالمتجه X في الأساس e l ، e 2 ، ... e n ، والأرقام x l ، x 2 ، ... x n - إحداثياتالمتجه x فيما يتعلق بهذا الأساس ، أو في هذا الأساس.

يمكن إثبات أنه إذا كانت النواقل غير الصفرية للفضاء الإقليدي ذي الأبعاد n متعامدة في الزوج ، فإنها تشكل أساسًا. في الواقع ، نقوم بضرب طرفي المساواة l e l +  2 e 2 + ... + e n e n \u003d 0 بأي متجه е i. نحصل على  l (el * e i) +  2 (e 2 * e i) + ... +  n (en * e i) \u003d 0   i (ei * e i) \u003d 0   i \u003d 0 ل  أنا.

المتجهات e l ، e 2 ، ... e n لشكل الفضاء الإقليدي ذي الأبعاد n أساس متعامدإذا كانت هذه النواقل متعامدة زوجياً وكان معيار كل منها يساوي واحدًا ، أي إذا كانت i * e j \u003d 0 لـ i ≠ j و | е i | \u003d 1 لأني.

نظرية (لا دليل). كل مساحة إقليدية ذات أبعاد n لها أساس متعامد.

مثال على الأساس المتعامد هو نظام n من متجهات الوحدة e i ، حيث يكون المكون i يساوي واحدًا ، والمكونات الأخرى تساوي الصفر. كل متجه من هذا القبيل يسمى ort... على سبيل المثال ، متجهات الوحدة (1 ، 0 ، 0) ، (0 ، 1 ، 0) و (0 ، 0 ، 1) تشكل أساسًا للفضاء ثلاثي الأبعاد.